多边测量简介

多边测量技术是一种基于距离测量的定位方法，其定位原理较为简单。在距离可测量的前提下，可以使用多边测量法进行定位求解。

基于距离模型的求解方法，因此需要距离测量技术或距离估算技术作为前提，所有能进行距离测量的技术理论上都可以应用多边测量法进行定位求解，如利用信号到达时间（ToA）或者时间差（TDoA）进行距离测量，根据信号衰减模型进行距离计算，利用视觉测量获得目标距离，利用声音进行距离测量等。

以三边测量为例，其定位模型如图1所示，

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各基站坐标已知，记为（x1,y1），（x2,y2），（x3,y3），移动台坐标待求，设为（x0,y0）。如果移动台与基站之间的距离可测，设为d1,d2,d3，移动台的估计坐标为，记移动台与基站i之间的真实距离为:    

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因此，多边测量法的定位问题可转化为函数的最小优化问题。

参数估计方法

假如有多个点，

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已知这些节点与未知节点(x,y)的距离方程组：

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对于求解非线性方程组的方法，可采用非线性最小二乘方法如牛顿迭代、梯度下降等方法来逐步逼近最优解。   

最小二乘法：一种数学优化技术，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线或函数。该方法通过最小化数据点到拟合曲线的距离平方和来确定最佳拟合曲线。

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还可以采用另一种简单直观的线性化方法：将方程组中第1个至第(n-1)个方程分别与第n个方程相减可得线性方程组：

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其中    

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对该线性方程组可以采用线性的最小二乘法，通过求解正规方程或使用矩阵运算来求解未知参数的最优值

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无论是线性还是非线性最小二乘法，都是常用的参数估计方法。

多边定位技术

多边定位有多种技术，上面介绍的都是基于圆找到坐标，除此之外，还有双曲线（2D）和双曲面（3D）（球面）等多边定位技术。双曲线多边定位用于二维定位，双曲面或者球面多边定位用于三维定位。

另一方面，多边形测量是一种涉及使用多个多边形来确定对象位置的技术。它与多点定位类似，但通常用于信号源受遮挡或信号强度较弱的情况。

多边测量示例

三个已知点的坐标和未知点到对应三个点的距离测量值，然后使用线性方程组求解的方法计算出未知点的坐标。如果无法确定未知点的位置（例如三个点共线），则返回None。

示例代码:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef trilateration(p1, p2, p3, d1, d2, d3): # 三个测量点的坐标 x1, y1 = p1 x2, y2 = p2 x3, y3 = p3 # 构建线性方程组的系数矩阵A和常数向量b A = np.array([[2*(x2-x1), 2*(y2-y1)], [2*(x3-x1), 2*(y3-y1)]]) b = np.array([d1**2 - d2**2 + x2**2 - x1**2 + y2**2 - y1**2, d1**2 - d3**2 + x3**2 - x1**2 + y3**2 - y1**2]) # 解线性方程组得到未知点的坐标 try: x, y = np.linalg.solve(A, b) return x, y except np.linalg.LinAlgError: # 如果无法解方程组（例如三个点共线），返回None return None# 示例用法p1 = (0, 0)p2 = (3, 0)p3 = (0, 4)d1 = 5d2 = 4d3 = 3result = trilateration(p1, p2, p3, d1, d2, d3)if result is not None: x, y = result print('未知点的坐标为：({:.2f}, {:.2f})'.format(x, y))else: print('无法确定未知点的位置')# 绘制图形plt.plot([p1[0], p2[0]], [p1[1], p2[1]], 'r-')plt.plot([p1[0], p3[0]], [p1[1], p3[1]], 'r-')plt.plot([p2[0], p3[0]], [p2[1], p3[1]], 'r-')plt.plot(x, y, 'bo')plt.axis('equal')plt.show()

结果输出：

未知点的坐标为：(3.00, 4.00)

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实际上，三边测距定位算法可能会面临很多挑战，例如误差处理和多个解的情况。具体实现时，需要根据具体的应用场景进行适当的调整和改进。

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